خلاصه

یک مخزن استوانه ای افقی که در دو انتها دارای پایه می باشد، در اثر فشارهای خارجی یا داخلی تحت بارگذاری قرار می گیرد. در فرایند طراحی چنین مخازنی، صرف داشتن بهترین انتخاب در مورد ابعاد اولیه برای کاهش وزن می تواند مشکل ساز باشد. در این مقاله شعاع، طول و ضخامت دیواره بهینه را برای مجموعه ای از مخازن ارائه خواهیم کرد و نتایج تحلیل عددی را به صورت نموداری نمایش می دهیم.

1.  مقدمه

مخازن جدار نازک به دو روش: طراحی پارامتریک یا متغیر بهینه سازی می شوند. طبقه بندی مفصّلی از مسائل بهینه سازی به همراه مثال های گوناگون، با تمرکز بر طراحی متغیر توسط Zyczkowski در سال ۱۹۹۰ ارائه شد اما برای یافتن راه حل های عملی جهت بهینه سازی پوسته های جدار نازک روش های کامپیوتری مورد نیاز است. Ringertz در سال ۱۹۹۲، برای بهینه سازی ساختارهای جدار نازک غیر خطی، روش های عددی ارائه کرد. وی متود هایش را با دو مثال از بهینه سازی پارامتری مربوط به یک ورق استوانه ای دارای شیار و یک ورق استوانه ای سوراخ دار تشریح کرد. Zhou و Haftka در سال ۱۹۹۵، با جابجایی قیود و آزمایش حالت های مختلف بارگذاری، روشهای بهینه سازی تعمیمی پی در پی ارائه کردند. Kruzelecki در سال ۱۹۹۷، ابعاد بهینه یک پوسته استوانه ای جدار نازک را تعیین کرد که توسط نیروی محوری و فشار خارجی بارگذاری شده بود و برای یافتن راه حل از یک پوسته جدار نازک با استحکام یکنواخت استفاده کرد. Magnucki و Szyc در سال ۱۹۹۶، المان مستطیل شکل بهینه ای از سطح مقطع پوسته ی استوانه ای که تحت فشار داخلی ثابت قرار داشت، تهیه کردند.

در این مقاله تانکرهای استوانه ای افقی با دو انتها بیضی گون را مورد مطالعه قرار می دهیم که توسط فشار های داخلی و خارجی تحت بارگذاری قرار گرفته اند (شکل-۱). تانکری به حجم V_o را هم می‌توان کوتاه با قطر زیاد و هم بلند با قطر خیلی کم ساخت. مساله اصلی در بهینه سازی این است که شعاع، طول و ضخامت جداره را به گونه ای تعیین کنیم تا وزن تانکر به حداقل برسد؛ در عین حال مقاومت خود را از دست ندهد. Wilby در سال ۱۹۷۷، به سادگی فرمول‌بندی منطقی ای در مورد ابعاد پایه ای تانکر استوانه ای عمودی با مقطع دایروی عرضه داشت.

2. قید استحکام

شکل-1 مربوط به تانکر استوانه ای عمودی است که تحت دو بارگذاری متفاوت قرار گرفته است. اولی، بارگذاری داخلی ناشی از برآیند فشار هیدروستاتیکی اعمال شده توسط مایعی به چگالی ρ_m بعلاوه فشاره یکنواخت اضافی P_o است و دومی، ناشی از فشار خارجی ثابت P_ext.

(شکل-1) مخزن استوانه ای دو سر بیضی شکل

در بارگذاری نوع ۱، دیوارهای مخزن تحت فشار عمود بر سطح داخلی قرار دارند، باید توجه داشت که از وزن مرده ی تانکر صرف نظر گردیده است.

فرمول-1

که γ_m = g * ρ_m وزن مخصوص متوسط و g = 9.81 m/s².

با بکارگیری تئوری جدار نازک ها که به تفصیل توسط (Flugge (1997 و (Farshad (1992 تشریح گردید، تنش محوری و محیطی دیواره تانکر استوانه ای قابل تعیین است.

بیشینه مقادیر این تنش‌ها در پایین ترین نقطه مقطع عرضی مرکزی رخ می دهد که برابر:

فرمول-2

که λ = L / a کمیت بی بعد طول استوانه است. فرمول های محاسبه تنش موثر به شرح زیر است :

فرمول-3

با برقراری نامعادله روبرو، ضخامت جداره ی بخش استوانه ای مخزن تعیین می شود.

فرمول-4

σ_allow تنش مجاز می باشد.

پایه های تانکر به علت پدیده خمش، ممکن است باعث افزایش چشمگیر مقدار تنش شوند. اگرچه شکل مناسب پایه ها می تواند این اثر نامطلوب را تا حدودی کاهش دهد. راه حل مثال گونه ی بهینه ی پایه های مخزن توسط Maguncki et al در سال 1997 به روش المان محدود فراهم شد. طبق گفته Spence and Tooth در سال 1994، در ناحیه اتصال دو سر بیضی گون مخزن و قسمت استوانه ای آن تمرکز تنش وجود دارد. کمینه تمرکز تنش با توجه به نسبت ابعادی b/a = 0.5 ، وقتی رخ می دهد که نسبت ضخامت جداره بخش استوانه ای به بخش بیضی گون در شرط زیر صدق کند :

فرمول-5

در رابطه فوق داریم :

حداقل ضریب تمرکز تنش :

و تنش مؤثر در بخش استوانه ای مخزن :

است.

با در نظر گرفتن مقادیر فوق در فرمول-4، ضخامت بخش استوانه ای مخزن از رابطه ی زیر بدست می آید :

فرمول-6

با توجه به فرمول-5 ضخامت بخش بیضی گون مخزن نیز به دست می آید :

فرمول-7

در این روش، ضخامت بدست آمده برای بخش استوانه ای مخزن مربوط به بارگذاری نوع 1 می باشد و نتایج از برقراری شرط استحکام بدست آمده اند.

3. قید استحکام

در بارگذاری نوع دوم، مخزن فقط تحت فشار خارجی ثابت عمود بر سطح قرار می گیرد (P_ext) (در این مورد نیز، وزن مرده مخزن را در نظر نمی گیریم) . بنابراین ممکن است خمش رخ دهد.

در سال 1967، Volmir مقاومت جداره تانکر را در برابر بارگذاری های مختلف به تفصیل بیان کرد. وی توجه خود را به ساده سازی تئوری جدار نازک ها و بارهای بحرانی معطوف و بررسی های دقیق خود را به کمک مثال های تفصیلی تشریح کرد. با بررسی نتیجه گیری های او می توان فرمول زیر را برای بار بحرانی بخش استوانه ای مخزن که تحت فشار خارجی قرار دارد، استنباط کرد :

فرمول-8

در فرمول بالا داریم :
n : تعداد نوسانات دایره ای
E : مدول یانگ
V : ضریب پواسون

شرط برقراری استحکام تانکر :

و f_b ضریب ایمنی در برابر خمش می باشد. با مقایسه این شرط و فرمول-8 معادله جبری درجه 3 زیر بدست می آید.

فرمول-9

که داریم :

که به کمک روابط فوق مقدار پارامتر بی بعد x₂=a/t₂  با داشتن مقدار فشار خارجی P_c قابل محاسبه است. به این ترتیب، ضخامت t₂ با درنظر گرفتن قید استحکام بدست می آید.

4. تابع جرم

تانکر یک ساختار جدار نازک است که شامل دو سر بیضی شکل با نسبت مشخصه b/a=0.5 و بدنه ی استوانه ای شکل است(شکل-1). حجم V₀  تانکر معمولا اندکی بزرگتر از حجم واقعی محاسبه می گردد. برای انجام محاسبات ریاضی از سطح میانی ورق تانکر استفاده می شود. در نتیجه :

فرمول-10

در فرمول فوق داریم :
حجم بخش بیضی گون:  
حجم بخش استوانه ای مخزن :

پارامتر بی بعد طول تانکر به حجم V₀ به صورت زیر محاسبه می گردد :

فرمول-11

و جرم تانکر به کمک رابطه فوق قابل محاسبه است :

فرمول-12

در فرمول بالا :
جرم دو انتهای تانکر :و
جرم قسمت استوانه ای تانکر :

و ρ_s چگالی ورق تانکر می باشد.
با در نظر گرفتن ضخامت دو انتهای مخزن در فرمول-7، تابع جرم به صورت زیر بدست می آید :

فرمول-13

در فرمول بالا، پارامتر بی بعد λ از طریق فرمول-11، ضخامت t₂ از طریق فرمول-6 (زمانی که شرط استحکام مهمتر باشد) و یا از محاسبه ریشه معادله-9 قابل محاسبه است. در نتیجه، مسئله بهینه سازی از نوع پارامتریک بوده و به شعاع استوانه ی تانکر بستگی دارد که به کمک آن تابع محاسبه ی وزن تانکر کمینه یا حداقل می گردد.

5. نتایج عددی

روی چندین نمونه تانکر فلزی به حجم های 25، 50، 100، 200 و 300 متر مکعب تحلیل های عددی انجام گرفته شد. در بارگذاری نوع اول، تانکرها با آب به وزن مخصوص 9.81 kN/m³  پر و نیز در معرض فشار داخلی ثابت P=2.5 MPa قرار گرفت.
در بارگذاری نوع دوم، تانکر ها فقط تحت فشار خارجی ثابت :
قرار گرفتند.

مشخصات فولاد مورد استفاده :

مدول یانگ =  E=2.05*10⁵ MPa

نسبت پواسون =   ν=0.3

تنش مجاز = 250 یا 330 MPa

(شکل-2) نمودار تابع جرم تانکر بر حسب شعاع

نمودار تابع جرم همه تانکر های استوانه ای شبیه به (شکل-2) می باشد. شکل-2 نمودار تابع جرم تانکر 200 متر مکعبی یا 200000 لیتری است. کمینه تابع جرم زمانی حاصل می شود که ضخامت t₂ پوسته ی استوانه ای هر دو شرط استحکام و پایداری را ارضا کند. در موردی که فقط قید استحکام مد نظر است، تابع جرم، مقدار کمینه M₂ را بدست می دهد. مقادیر بهینه شده ی شعاع a_opt و ضخامت t_2opt مربوط به نقطه M₁ برای تانکرهای مورد آزمایش، در نمودار های 3 و 4 نمایش داده شده است. خطوط خط چین راه حل بهینه ی تانکر فولادی با تنش مجاز  250 MPa.

(شکل-3) نمودار شعاع بهینه aopt بر حسب حجم V0

(شکل-4) نمودار ضخامت بهینه t2opt بر حسب حجم V0